Programma: PNRR M4C2 – Investimento 1.1 PRIN 2022
Settore ERC: PE - Physical Sciences and Engineering
Codice progetto: 2022XZSAFN – CUP: B53D23009540006
Responsabile scientifico: Prof. M. D’Ovidio
Capofila: Sapienza Università di Roma
Partner (Altre Unità): Università degli Studi di Napoli “Federico II” e Università degli Studi di Salerno
Contributo Totale progetto: € 187.230,00
Contributo per l’Ateneo: € 80.700,00
Durata: 24 mesi (dal30/09/2023 al 29/09/2025)
Abstrac
We aim to find new results in Probability, Analysis and Statistics concerning motions on regular and irregular domains with reflection on regular and irregular regions of the domains. By reflection we mean elastic (Robin), slow (sticky) and skew (transmission) reflection. By “irregular domain” we mean “fractal domain” and “domain with fractal boundary or fractal interface”.
Our analysis includes the connections between fractional dimension (irregular domains) and fractional calculus, that is equations involving fractional (or non-local) operators. Starting from such results we aim to realize a collection of codes and routines to be included in free and open international projects as Yuima and others. Anomalous behavior can be regarded as the common property for a wide class of phenomena. Such a class includes motions driven by fractional equations and motions on irregular (or non-homogeneous) domains.
From our point of view, this respectively agrees with a macroscopic or microscopic analysis. In the macroscopic analysis we bear the fact that a motion exhibits its own anomalous dynamic, that is the motion can be written as a time change of a base process where the governing equation is a fractional partial differential equation. The microscopic analysis aims to relate the anomalous behaviour of the motion with the geometry of the medium (boundaries, interfaces, layers).
We pay special attention to reflection on bounded domains and the associated stochastic processes with finite and infinite velocity. We approach the problem from both probabilistic and pure analytical points of view. Thus, we deal with perturbed Dirichlet forms and semigroups, random time changes of stochastic processes and the associated multiplicative (additive) functionals characterizing the time changed semigroups. Then, we move to the numerical and computational procedures needed in the next step.
Once the mathematical framework is well defined, we proceed with the implementation of the results and the construction of a package for platforms as R (https://cran.r-project.org/) or Octave (https://www.gnu.org/software/octave/index). Here we consider, among the others, inverse problems (concerning fractional dimension or fractional order of the operators) and statistical problems. We focus on the active participation with the international Yuima Project for R. The routines collected in our packages turn out to be useful to the scientific community and above all, the packages are free and open.
The already existing port of Matlab/Octave scripts to R (and from R) brings our project to a more extended audience. We consider some high impact problems for which we expect a real breakthrough and a direct impact to other fields and applied sciences.
The team has been selected among probabilists, analysts, numerical analysts, statisticians and computer scientists with established mutual collaborations.
Vogliamo trovare nuovi risultati in Probabilità, Statistica Matematica e Analisi relativi ai moti su domini irregolari con riflessione.
La riflessione è intesa come riflessione elastica (condizione di Robin), lenta o sticky (condizione di Feller/Wentzell) e skew (condizione di trasmissione). Per domini irregolari si intendiamo domini con bordi o interfacce irregolari, ad esempio frattali. La nostra analisi prevede collegamenti tra dimensione frazionaria (domini irregolari) e calcolo frazionario, cioè equazioni che coinvolgono operatori frazionari o non-locali. Dai risultati che intendiamo ottenere su tali argomenti, vogliamo poi arrivare alla implementazione in codice open e free fruibile ad esempio in pacchetti come Yuima o altri disponibili per piattaforme come R (https://cran.r-project.org/) o Octave (https://www.gnu.org/software/octave/index).
Il comportamento anomalo che vogliamo descrivere può essere come una proprietà comune per una grande famiglia di fenomeni.
Possiamo includere i moti guidati da equazioni non-locali oppure moti su domini irregolari.
Dal nostro punto di vista i due casi menzionati possono essere rispettivamente associati con analisi di tipo macroscopico oppure microscopico.
Nel primo caso il processo esibisce un comportamento anomalo endogeno mentre nel secondo caso il moto subisce effetti esogeni (propri del mezzo irregolare) determinati il comportamento anomalo. Prestiamo particolare interesse anche alle riflessioni su domini limitati per processi a velocità finita.
Il nostro approccio prevede un’analisi rigorosa dal punto di vista matematico probabilistico ed in particolare consideriamo forme di Dirichlet e semigruppi markoviani, la teoria del time change. Quindi ci occuperemo di problemi connessi computazionali e di analisi numerica ed infine alla implementazione e alla produzione di software.
Considereremo possibili estensioni legate alla portabilità (ad esempio MATLAB). Il nostro interesse principale è rivolto allo studio di problemi di alto impatto per le scienze applicate. Il team è costituito da ricercatori di alto profilo con elevata esperienza nei rispettivi ambiti di studio.
Parole chiave:
stochastic processes; partial differential equations; fractals and fractionality; numerical modeling; computational statistics; statistical inference